科里奥利力 数学推导，最美理论爱因斯坦引力场方程推导

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伟大的前苏联物理学家列夫兰道（LevLandau）和叶夫根尼利夫希茨（YevgenyLifshitz）在他们的《经典场论》一书中写道存在。”

任何认真研究过广义相对论的人都会发现它具有独特的魅力。20世纪最有影响力的物理学家之一、英国理论物理学家保罗狄拉克说

“牛顿的引力理论（力在瞬间传播）与狭义相对论的要求很难调和。但爱因斯坦解决了这个题，相对论诞生了。——这可能是有史以来最伟大的理论。科学发现”。

在这篇文章中，作者将结合德拉塞卡的文章，试图解释为什么这些伟大的科学家会做出如此有力的言论。

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时钟题

仔细看看下面的图片。

等效原理指出时钟A和时钟B相对于时钟C保持相同的相对时间。

根据狭义相对论，时钟A和时钟B在时钟向上运动时测得的时间间隔与时钟C在真空中测得的相应时间间隔有以下关系

结合这两个表达式我们得到

上述方程中还用到了托里拆利公式和引力势的概念。

现在，如果时钟B放置在没有引力场的x位置，则上面的表达式变为

方程1两次变化之间的时间间隔如何随重力势U的变化而变化。

等效原理

在牛顿力学中，质量有两个概念惯性质量和引力质量。前者是测量抵抗外力的方法。后者既是引力场的来源，也是另一个大质量物体对引力场的响应。

这张图显示了两个物体根据牛顿万有引力定律相互吸引。

质量为M和m的两个物体以R分开，它们之间的引力可表示为

根据牛顿第二定律，物体m的加速度为

方程2惯性质量和引力质量相同的原因是加速度的大小不取决于物体的质量。由于加速度是恒定的，因此质量比也必须是恒定的。当然，本例中的常数为1。

实际上，加速度a的大小与质量m无关，这也意味着上述质量比是一个普适常数。由此可以推断，惯性质量和引力质量的大小是相同的。

广义相对论中的空间和时间

在狭义相对论中，闵可夫斯基距离表示为

方程3狭义相对论中的闵可夫斯基距离。

这里d代表固有时间。世界线上的正确时间是该线上的时钟测量的时间。

对于给定事件，该图显示了闵可夫斯基时空的四个独立部分。

正如上图所示，世界线在空间和时间上分为三种类型。

光速曲线，每个点代表光速。这些世界线在空间和时间上形成了一个明亮的圆锥体。

时间曲线。这些曲线的速度低于光速，落在光锥内。

空间曲线。例如，这些曲线表示物体的长度。

首先，各种世界线都对应于符号d。

本征时间d的长度取决于空间和时间的特性。若式2在一定的时空区域内成立，则将其代入式3可得

方程4由于恒定引力场导致的闵可夫斯基时空间隔的变化。

现在考虑将坐标转换为均匀加速的参考系。新的x和t是

方程5坐标变换为均匀加速参考系。

y和z不变。闵可夫斯基区间方程3在这些坐标中表示为

方程6均匀加速参考系中的Minkowski距离。

现在，在转换方程5中，我们选择小于或等于c/g的时间度并执行简单的展开。即新的时空间隔方程3为

方程7以非惯性坐标表示的平滑Minkowski时空中的时空间隔。

请注意，其形式与公式4相同。因此，根据等效原理，转换到加速度参考系就相当于引入了引力场。

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到目前为止，我们只考虑了与闵可夫斯基度量的微小偏差。像爱因斯坦一样，我们通常假设引力场的存在会扭曲时空的几何形状。更准确地说，爱因斯坦的引力理论认为，在存在引力场的情况下，时空变成光滑的伪黎曼流形，时空分离的形式为

方程8伪黎曼流形的时空区间。

在闵可夫斯基时空中，粒子以匀速直线运动。

方程10在闵可夫斯基时空中，粒子以匀速直线运动。

在没有重力的情况下，我们将以下坐标转换为曲线坐标系

方程11转换为无重力曲线坐标。

时间间隔和空间间隔为

方程12变换后的时空间隔方程11。

在

公式13变换后的度量张量公式11。

在上图所示的惯性参考系中，黑沿直线运动。然而，站在旋转参考系中的观察者会看到黑由于该参考系中的科里奥利力和离心力而沿弯曲路径移动。

运动方程10已成为普遍存在的大地测量方程。

方程14运动方程10经过坐标转换后变为方程11，此时重力还不存在。

其内部的物体称为克氏符号。

方程15大地测量方程中出现的克氏符号。

方程14中的克氏表示法产生“表观”加速度，该加速度仅当笛卡尔坐标系中的线性运动由曲线坐标描述时才会产生。但它实际上是惯性加速度。

然而，等效原理指出，所有加速度，无论是惯性加速度还是重力加速度，都是测量值。重力扭曲了时空的几何形状，并且粒子在时空中沿着方程16给出的测地线移动。

方程16粒子在空间和时间中移动时的运动大地测量方程。

爱因斯坦万有引力定律的推导

在牛顿物理学中，描述引力场的方程被表示为引力势U。如果没有重力，则只有U=0，如果有一个质量很大的物体，但被测粒子在物体外部，则U=0，而在有物质的区域，方程变为。U=4G。

让我们再次尝试将这三个方程应用于广义相对论。

首先，我们假设有一个粒子按照方程16移动。如果通过坐标变换将式（16）转化为式（10），则说明粒子不在引力场中。

同样，在当前重力作用下，K分支符号在坐标变换后也不会消失。如果通过一般坐标变换所有的K-Shift符号都消失了，那么利用K-Shift符号的变换定律可以很容易地证明方程17的四个变换fs一定有方程18的解。

公式17应用于K屏蔽符号的变换。

方程18克氏征消失的条件。

这就是当所谓的黎曼-克里斯提格张量消失时会发生的情况。后者给出为

方程19黎曼曲率张量或黎曼-克里斯提格张量。

我们得出结论，引力场不存在的条件是

方程20失重条件。该方程是根据相对论牛顿方程U=0的结果。

该方程是牛顿方程U=0的广义相对论版本。可以看出，U=0最简单的推广是方程20的简化。换句话说

方程21根据相对论，里奇标量的灭绝是牛顿方程U=0的结果。

这个消失的物体被称为里奇张量。最后一步是确定U=4G右侧的导数。这里首先想到的是能量动量张量。通过狭义相对论，我们可以看到导数消失了。然而，由于广义相对论是协变理论，因此标准导数消失还不够。消失还需要T的协变导数，这在所有坐标系中都满足。

然而，Ricci张量的协变导数不为零。这个题是通过引入相关导数和协变导数消失的张量来解决的，即爱因斯坦张量。

在广义相对论中，物体之间的引力效应是时空扭曲的结果。

因此，爱因斯坦的万有引力定律是

要求常数k在区间c内，我们可以得到常数k并应用牛顿理论。

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一、科里奥利力的公式是？

vec_C=2m-vecimesvec、

式中，vec_C为科里奥利力，m为质点的质量，vec为质点的运动速度，vec为旋转系统的角速度，imes表示两个向量的外积符号。

二、地理题，地转偏向力的计算公式是怎样推导的？

首先将运动分为经纬线，地半径为R，地角速度为，物体质量为m，纬度为，忽略旋转所有计算。当物体在纬度方向静止时，其相对太阳的速度为v0=-R-cos.受到向心力fn0=v0^2/-R-cos,-m.此时，由于相对于地处于静止状态，因此合力为向心力fn0，该力在平行于地的方向上的分力就是向心力在平行于地的方向上的分力。地。地，即fn0-sin，当物体相对于太阳的速度沿纬度方向以vx的速度运动时，作用于v=vx+v0的向心力fn'=-vx+v0，所以^2/-R-cos,-m.此时，地重力、支撑力等的合力在平行于地的方向上保持不变，仍为fn0-sin。但向心力变为fn'-sin。当以地作为非惯性参考系时，物体受到的惯性力为fn=fn'-sin-fn0-sin.在中fn=-2vx-v0+vx^2，/-R-cos,-m为vxgt;gt;v0,所以fn2-vx-v0/-R-cos,-m-sin=2-vx--m-sin方向与下相反方向。fn'，即物体以北半为右，南半以左纬的纬度处的线速度为v0=-R-cos。如果是自变量，则导出v0会导致dv0=--R-sind.对于沿经线运动的物体，该物体在子午方向的角速度为=d/dt=vy/R.将带到。得dv0=-vy--sindt，即a=dv0/dt=-vy--sin，且沿子午线的物体速度v也随地自转而旋转，加速度为v-。证明同心加速度的-sin，这里省略，是地相对于物体的加速度，所以物体相对于地的加速度为a=vy--sin+v-。-sin=2-vy--sin这是科里奥利力引起的加速度，则科里奥利力f=m-a=2vy--m-sin，其方向与地自转方向相同。那么，推断北半向右移动，南半向左移动定性分析越靠近赤道，线速度越大。沿赤道沿经度运动的物体的线速度变得小于地的线速度。在表面，线速度因地转偏转力而减慢。与此同时，沿经线的运动速度本身也减慢。它随着地的自转而变化，加速度的方向与电子的方向相同。这同样适用于其他情况。小结当物体以速度v-运动时，受到科里奥利力f=m---sin=2mv--sin的影响。在北半方向为右，在地上方向为左。南半没有力量，赤道也没有力量。

三、科里奥利力原理？

旋转系统中粒子线性运动的科里奥利力基于牛顿力学。1835年，法国气象学家科里奥利提出，为了描述旋转系统的运动，应该在运动方程中引入一个虚力，即科里奥利力。引入科里奥利力后，可以像处理惯性系统的运动方程一样方便地处理旋转系统的运动方程，从而大大简化了自旋系统的处理。由于有人居住的地本身就是一个巨大的旋转系统，科里奥利力很快并成功地应用于流体运动领域。

在旋转系统中做直线运动的粒子，由于惯性的作用，往往会继续沿着原来的运动方向运动，但由于系统本身是旋转的，粒子运动一定时间后位置就会发生变化，并且从从旋转系统来看，原来的运动方向发生了变化，运动趋势的方向会发生一定程度的偏离。